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気ままな数学ノート

なぜ？三角比の相互関係

数学

よく見かけるこの３つの公式

① $\displaystyle\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}$

② $\sin^2 θ+\cos^2 θ=1$

③ $\displaystyle\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}$

この成り立ちを順に考えましょう。

◎三角比の確認右の三角形で $\sinθ，\cosθ， \tanθ$ は

f:id:Peroki:20210227175846p:plain

\begin{aligned}\sinθ &=\frac{a}{c} \\ \cosθ &=\frac{b}{c} \\ \tanθ &=\frac{a}{b}\end{aligned}

これを変形して

　 $c\sinθ=a$ ， $c\cosθ=b$ ， $b\tanθ=a$

① $\displaystyle\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}$

　 $\displaystyle\tanθ=\frac{a}{b}$ 　から

　 $\require{cancel}\displaystyle\tanθ=\frac{a}{b}=\frac{\cancel{c}\sinθ}{\cancel{c}\cosθ}=\frac{\sinθ}{\cosθ}$

$\sinθ，\cosθ$ どっちが上(分子)だったっけ...??

そんなときは先ほどの三角形を書き

　 $\displaystyle\tanθ=\frac{a}{b}$ で $a$ を使うのは $\displaystyle\sinθ\left(=\frac{a}{c}\right)$ であることが分かれば、 $\sinθ$ が分子だとわかります。

② $\sin^2 θ+\cos^2 θ=1$

直角三角形といえば、"三平方の定理" がありました。

　 $a^2 + b^2 = c^2$

この式に先ほど変形したものを代入すれば

\begin{aligned}a^2 + b^2 &=c^2 \\ c^2\sin^2 θ+c^2\cos^2 θ &=c^2 \\ \sin^2 θ+\cos^2 θ&=1 \end{aligned}

③ $\displaystyle\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}$

この式を暗記する必要はありません。
②の式から $\tanθ$ を導きましょう。
②式の両辺を $\cos^2 θ$ で割ると

\begin{aligned}\sin^2 θ+\cos^2 θ &=1 \\ \frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ} &=\frac{1}{\cos^2 θ} \\ \left(\frac{\sinθ}{\cosθ}\right)^2 +1 &=\frac{1}{\cos^2 θ} \\ \tan^2 θ+1 &=\frac{1}{\cos^2 θ}\end{aligned}

いかがでしたか？
理屈を追って考えると、覚える内容を減らすことができますね。