【数列】群数列を階差数列で解いてはいけない？

今回は記述式回答で注意してほしい群数列の解き方を紹介します。

◎問題

　４で割ると１あまる数列を

１｜５，９｜１３，１７，２１｜２５，・・・

のように第ｎ群がｎ個の数を含むように分けるとき

第ｎ群の最初の数を求めよ。

群数列の解き方

　4 で割ると 1 余る数は $4m-3(m:整数)$ と表せる。

$n\geqq2$ のとき

　第１群から第 $(n-1)$ 群までにある数の個数は

　 $1+2+3+・・・+(n-1)=\frac{1}{2}(n-1)n$

よって，第 n 群の最初の数は $\frac{1}{2}(n-1)n+1$ 番目の数で

$4・\frac{1}{2}(n-1)n+1-3=2n^2-2n-3$

　これは $n=1$ のときも成り立つ。

群数列を階差数列を用いて解く

　各群の最初の数 $1,5,13,25,・・・$ この数列を $a_n$ とする。

　数列 { $a_n$ } の階差数列を { $b_n$ } とすると

　{ $b_n$ }： $4,8,12,・・・$

　よって一般項は $b_n=4n$

　これより，数列 { $a_n$ } の一般項は

　 $n\geqq2$ のとき

　 f:id:Peroki:20210320221121p:plain

　これは $n=1$ のときも成り立つ。

しかし，この解き方は完璧であるとは言えない。

階差数列を用いてはいけない理由

　ここで問題となるのは，各群の最初の数列 { $a_n$ }

　{ $a_n$ }： $1,5,13,25,・・・$ に対して考えた階差数列

　{ $b_n$ }： $4,8,12,・・・$ が 4 の倍数であると推測して話を進めている点である。

　感覚的には 4 の倍数と思えるが，この問題において数列 { $b_n$ } がどこまでも規則的に増える保証はない。

　記述で無ければアリかもしれないが，記述式回答であるならば数学的帰納法を用いて数列 { $b_n$ } の一般項が $b_n=4n$ となることを示す必要がある。

　せめて，「第 n 群に n 個の数が含まれるとき，第 n 群の最後の数は第 n 群の最初の数に 4(n-1) を足したものとなる。第 n 群の最後の数に 4 を足したものが第 (n+1) 群の最初の数なので，第 (n+1) 群の最初の数は第 n 群の最初の数に $4(n-1)+4=4n$ を足したものといえる。」などと書いておくことを勧める。