【原因の確率】表を書くだけ!?条件付き確率P□(〇)の式を簡単に理解する！

この記事では，条件付き確率で出てくる
　 $Ｐ(Ｅ)$
$=Ｐ(Ａ\capＥ)+Ｐ(Ｂ\capＥ)$
$=Ｐ(Ａ)×Ｐ_{Ａ}(Ｅ)+Ｐ(Ｂ)×Ｐ_{Ｂ}(Ｅ)$
を表を書くことで，簡単に分かるようになります。

表から一瞬で答えを出す方法
- (1)の解答
- (2)の解答
Ｐ□(〇)の数式を使って考える方法
- (1)「それが不良品である確率を求めなさい。」の解答
- (2)「不良品であったとき、それが機械Aの製品である確率を求めなさい。」の解答
まとめ

◎問題

同じ製品を機械Ａ・Ｂで製造している工場がある。
製品全体の７０％を機械Ａで作っており，不良品が現れる確率は機械Ａで５%，機械Ｂで８%である。製品の中から１個を取り出したとき
(1) それが不良品である確率を求めなさい。
(2) 不良品であったとき、それが機械Aの製品である確率を求めなさい。

表から一瞬で答えを出す方法

(1)の解答

全部で1000個の製品を作ったとする。
・製品全体の７０％が機械Ａで作られる。
・機械Ａでは５％の確率で不良品が現れる。
これを表で表してみると

機械Ｂについても同じように考え、表を作ってみると

製品は全部で1000個あり，そのうち不良品の合計は59個であるから
求める確率は $\frac{59}{1000}$

(2)の解答

不良品は全部で59個あり，そのうち機械Ａで作られた不良品は35個であるから
求める確率は $\frac{35}{59}$

Ｐ□(〇)の数式を使って考える方法

取り出した１個が，
機械Ａの製品であるという事象を・・・Ａ
機械Ｂの製品であるという事象を・・・Ｂ
不良品である事象を・・・Ｅ
とすると

製品全体の
７０％を機械Ａで作っているから，
　 $Ｐ(Ａ)=\frac{70}{100}$
　 $Ｐ(Ｂ)=\frac{30}{100}$

不良品が現れる確率は
機械Ａで５%，機械Ｂで８%であるから，
　 $Ｐ_{Ａ}(Ｅ)=\frac{5}{100}$
　 $Ｐ_{Ｂ}(Ｅ)=\frac{8}{100}$
と表せる。

(1)「それが不良品である確率を求めなさい。」の解答

求めたい確率 $Ｐ(Ｅ)$ は
$Ｐ(Ｅ)=\frac{59}{1000}$ となりましたが，
$Ｐ(Ｅ)=\frac{59}{1000}=\frac{35}{1000}+\frac{24}{1000}$ と表せますね。

先ほどの表を $Ｐ_{□}(〇)$ を用いて表してみると
機械Ａで不良品ができる確率 $Ｐ(Ａ\capＥ)$ は
　 $Ｐ(Ａ\capＥ)=Ｐ(Ａ)×Ｐ_{Ａ}(Ｅ)=\frac{70}{100}×\frac{5}{100}=\frac{35}{1000}$
機械Ｂで不良品ができる確率 $Ｐ(Ｂ\capＥ)$ は
　 $Ｐ(Ｂ\capＥ)=Ｐ(Ｂ)×Ｐ_{Ｂ}(Ｅ)=\frac{30}{100}×\frac{8}{100}=\frac{24}{1000}$ となります。

この考え方が分かってしまえば、求めたい確率 $Ｐ(Ｅ)$ を
　 $Ｐ(Ｅ)$
$=Ｐ(Ａ\capＥ)+Ｐ(Ｂ\capＥ)$
$=Ｐ(Ａ)×Ｐ_{Ａ}(Ｅ)+Ｐ(Ｂ)×Ｐ_{Ｂ}(Ｅ)$
$=\frac{35}{1000}+\frac{24}{1000}=\frac{59}{1000}$ と求められることに納得できますね。

(2)「不良品であったとき、それが機械Aの製品である確率を求めなさい。」の解答

求めたい確率は $Ｐ_{Ｅ}(Ａ)$ で，
これは「不良品全体（Ｅ）」のうち，何個が「機械Ａで作られた不良品（ $Ａ\capＥ$ ）」なのかを求める確率であるから
　 $Ｐ_{Ｅ}(Ａ)$
$=\frac{Ｐ(Ａ\capＥ)}{Ｐ_{Ｅ}(Ａ)}$
$=\frac{35}{1000}÷\frac{59}{1000}=\frac{35}{59}$
と求められますね。