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気ままな数学ノート

2021の2021乗を15で割った余り

数学

f:id:Peroki:20210310190156p:plain

2021年の入試でよく使われたであろう 2021

一見すると素数のように感じますが...

2021は２乗ー２乗で表せる??
modで考える、15で割った余り
- （例）mod を数字で考える
2021 で考える
2021=43×47 を使う
近年の数字の素因数分解（参考）

2021は２乗ー２乗で表せる??

「知らないとできないよ」「これってひらめきでしょ??」と感じるかもしれないが
　2021=43×47　と表すことができます。
これを因数分解
　 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
を利用して考えてみましょう。
実はこの 2021 は２乗ー２乗で表せる数で，
　 $45^2=2025$ から
　 $2021=2025-4$
　　 $=45^2-2^2$
　　 $=(45-2)(45+2)$
　　 $=43×47$
導くことができますね。　

modで考える、15で割った余り

◎mod の性質

$a≡b　(mod　m)，c≡d　(mod　m)$ のとき，次のことが成り立つ。　
　 $a+c≡b+d　(mod　m)$
　 $aーc≡bーd　(mod　m)$
　 $ac≡bd　(mod　m)$
　 $an≡bn　(mod　m)$ （ $n$ は自然数）

（例）mod を数字で考える

　 $15$ で割ったとき、余りが等しくなる数を $mod$ を用いて表すと

$‥≡ 62 ≡ 47 ≡ 32 ≡ 17 ≡ 2 ≡ -13 ≡‥　( mod 15 )$

　このとき、どの数も $15$ で割って $2$ 余る。

Point

　※ $(-13)÷15=(-1)‥2$ としていることに注意。

$mod$ ではマイナスを扱ってもいい！

次からは $mod$ の性質を使っていく

2021 で考える

　 $135×15=2025$ から

　 $2021≡-4　(mod15)$
よって
　 $2021^{2021}≡(-4)^{2021}≡(-4)×16^{1000}$

　　 $≡(-4)×1^{1000}≡-4≡11　(mod15)$
従って
　 $2021^{2021}$ を $15$ で割った余りは $11$ である。

2021=43×47 を使う

　 $43≡-2 (mod15)$

　 $47≡2 (mod15)$ から

　 $2021^{2021}≡(43×47)^{2021}≡(-2×2)^{2021}$

　　 $≡(-4)^{2021}≡(-4)×16^{1000}≡-4≡11　(mod15)$

として余りを求めることもできる。

近年の数字の素因数分解（参考）

　2023=7×17^2
　2025=3^4×5^2(=45^2)
　2027：素数
　2029：素数
　2031=3×677

となっている。